Analyse fréquentielle #2: Simulation de la DFT (Transformée de Fourier Discrète)

Objectifs

Savoir implémenter la DFT avec Matlab
Savoir exploiter le spectre d’un signal avec Matlab
Savoir extraire les amplitudes de la DFT
Comprendre la notion de la fréquence
Savoir la relation entre la fréquence et la longueur d’onde
Savoir définir la fréquence d’échantillonnage
Savoir la formule de la transformée de Fourier discrète (DFT)
Comprendre la notion du spectre
Etc.

Voir le tuto pour plus de détails

Analyse temporelle du signal (Code Matlab)

L’implémentation de la DFT (Digital Fourier Transform) consiste à implémenter l’équation ci-dessous.

%% Signal temporel 
N=2^12;
f0=1;t0=1/f0;
t=linspace(0,5*t0,N);
ts=t(2)-t(1); fs=1/ts; 

s_0=1;                      % DC
s_1=2*sin(2*pi*f0*t);       % f0
s_2=4*sin(2*pi*3*f0*t);     % 3f0
s_3=6*sin(2*pi*7*f0*t);     % 7f0
s_b=0*randn(1,N);           % Bruit/Normal 
s_t=s_0+s_1+s_2+s_3+s_b;    % Signal  

% Affichage 
figure(1);
subplot(211); 
plot(t,s_1,'r-o','LineWidth',2); hold on; grid on; 
plot(t,s_2,'m-o','LineWidth',2);
plot(t,s_3,'k-o','LineWidth',2);
xlabel('Temps(s)','fontsize',13);
xlim([0 2*t0]);
ylabel('Amplitude(V)','fontsize',13);
legend({'s_1(t), f_0','s_2(t), 3f_0','s_3(t), 7f_0'},'fontsize',13); 
set(gca,'color','none'); 

subplot(212); 
plot(t,s_t,'b','LineWidth',3); hold on; grid on; 
xlabel('Temps(s)','fontsize',13);
xlim([0 2*t0]);
ylabel('Amplitude(V)','fontsize',13);
legend({'s(t)'},'fontsize',13); 
set(gca,'color','none');

Analyse fréquentielle d’un signal (Code Matlab)

%% Init
clear all;
close all; 
clc;
 

%% Signal temporel 
N=2^12;
f0=1;t0=1/f0;
t=linspace(0,5*t0,N);
ts=t(2)-t(1); fs=1/ts; 

s_0=1;                      % DC
s_1=2*sin(2*pi*f0*t);       % f0
s_2=4*sin(2*pi*3*f0*t);     % 3f0
s_3=6*sin(2*pi*7*f0*t);     % 7f0
s_b=0*randn(1,N);           % Bruit/Normal 
s_t=s_0+s_1+s_2+s_3+s_b;    % Signal  

% Affichage 
figure(1);
subplot(211); 
plot(t,s_1,'r-o','LineWidth',2); hold on; grid on; 
plot(t,s_2,'m-o','LineWidth',2);
plot(t,s_3,'k-o','LineWidth',2);
xlabel('Temps(s)','fontsize',13);
xlim([0 2*t0]);
ylabel('Amplitude(V)','fontsize',13);
legend({'s_1(t), f_0','s_2(t), 3f_0','s_3(t), 7f_0'},'fontsize',13); 
set(gca,'color','none'); 

subplot(212); 
plot(t,s_t,'b','LineWidth',3); hold on; grid on; 
xlabel('Temps(s)','fontsize',13);
xlim([0 2*t0]);
ylabel('Amplitude(V)','fontsize',13);
legend({'s(t)'},'fontsize',13); 
set(gca,'color','none'); 



%% Spectre fréquentiel  

% Calcul de la DFT (Manuelle) 
nfft=floor(N); 
df=fs/nfft;
f=linspace(-fs/2-df,fs/2,nfft);% 
s_f=zeros(1,nfft); 


for k=0:nfft-1
    somme=0.0; 
    for j=0:N-1
        somme=somme+(s_t(j+1)*exp(-1i*2*pi*k*j/N)); 
    end
    s_f(k+1)= somme;
end
 

% Calcul de la DFT (Matlab) 
s_fm=fft(s_t,nfft);  

% Affichage 
figure(2); 
subplot(211); 
plot(f,fftshift(abs(s_f)),'r-o','LineWidth',3); hold on; grid on; 
plot(f,fftshift(abs(s_fm)),'b-','LineWidth',3);
xlabel('Fréquence(Hz)','fontsize',13);
% xlim([f(1) f(end)]);
xlim([-10*f0, 10*f0]);
ylabel('||FFT||(V)','fontsize',13);
legend({'FFT Manuelle','FFT Matlab'},'fontsize',13); 
set(gca,'color','none'); 

subplot(212); 
plot(f,fftshift((abs(s_f))/(N)),'r-o','LineWidth',3); hold on; grid on; 
plot(f,fftshift((abs(s_fm))/(N)),'b-','LineWidth',3);
xlabel('Fréquence(Hz)','fontsize',13);
% xlim([f(1) f(end)]);
xlim([-10*f0, 10*f0]);
ylabel('||FFT||/(N/2)(V)','fontsize',13);
legend({'FFT Manuelle','FFT Matlab'},'fontsize',13); 
set(gca,'color','none');